Het meest gebruiksvriendelijke oefenprogramma vól slimmigheden
Exponentiële groei
Met Slimleren oefenen leerlingen thuis of in de les, op een leuke en interactieve manier, de stof die jij voor ze klaar zet. Benieuwd naar onze stof? Hieronder zie je hoe het onderwerp Exponentiële groei eruit ziet. Leerlingen kunnen in Slimleren vragen over dit - en ieder ander - onderwerp maken. Docenten kunnen de resultaten daarvan inzien en daarmee hun lessen efficiënter inrichten en makkelijker differentiëren.
Exponentiële groei
Theorie
Uitdaging
Als je 100 euro op je spaarrekening hebt en je krijgt hier 5% rente over, dan groeit je kapitaal ieder jaar met 5%, dus met een groeifactor van 1,05. Na 1 jaar heb je dus 105 euro op je rekening (als je tenminste niks hebt uitgegeven). Je kapitaal is dus met 5 euro gegroeid.
Als je dit geld nog een jaar op je rekening laat staan, dan groeit je spaarrekening weer met 5%, alleen groeit het dat jaar met meer dan 5 euro, omdat je ook rente over je verdiende rente van de jaren daarvoor krijgt. Dit noemen we exponentiële groei. Exponentiële groei betekent eigenlijk dat een bepaald aantal over een bepaalde periode van tijd iedere keer met een vaste groeifactor groeit.
In deze theorie leggen we je uitgebreider uit wat exponentiële groei inhoudt.
Methode
Wanneer een aantal over een bepaalde tijdsperiode elke keer met een vast percentage of met een vaste factor groeit, wordt dit exponentiële groei genoemd.
Bij een opgave met exponentiële groei wordt het aantal vermenigvuldigd met de groeifactor voor een bepaalde tijdseenheid.
Het aantal wordt aangegeven met N. Om het aantal in een bepaald jaar uit te rekenen is, naast de groeifactor, het begingetal nodig. Het aantal in een bepaald jaar kan vervolgens met de volgende formule worden uitgerekend:
$$N = b · g^t$$
Hierin is b de beginhoeveelheid, g de groeifactor, en t het aantal tijdseenheden.
De formule van de rente die in de uitdaging beschreven is ziet er dus als volgt uit: $$N = 100 · 1.05^t$$.
Als je nu wilt weten hoeveel geld er op je spaarrekening staat na bijvoorbeeld 3 jaar, dan vul je 3 in op de plek van de t en krijg je de formule: $$N = 100 · 1.05^3 \approx 115.75$$.
Vuistregels
$$N = b · g^t$$
- b is de beginhoeveelheid
- g is de groeifactor
- t is het aantal tijdseenheden
Voorbeeldvraag
De Nederlandse regering wilt dat kinderen tussen 8-18 jaar stimuleren om te sporten en zij zetten daarom een campagne op die kinderen in die leeftijdscategorie meer aan het sporten moet krijgen.
Op 1 januari 2013 is het aantal sportende kinderen tussen 8-18 jaar 500.000 en de regering verwacht dat dit getal elk jaar met 1,075 zal stijgen door de campagne.
a. Stel de formule op om het aantal sportende jongeren in Nederland te berekenen.
b. Hoeveel jongeren sporten er in 2020 (afgerond op hele getallen)?
c. Wanneer is het aantal sportende jongeren meer dan 600.000?
Uitwerking
a. $$N= b · g^t$$, b = 500.000 en g = 1,075. Dus de formule wordt: $$N = 500.000 · 1,075^t$$
b. 2020 - 2013 = 7, dus t = 7. Het aantal sportende jongeren in 2020 zal dus zijn: $$N = 500.000 · 1,075^7 = 829.525$$
c. Wanneer je 500.000 vermenigvuldigt met 1,075, en dat antwoord weer vermenigvuldigt met 1,075 en zo doorgaat totdat het aantal boven de 600.000 is. Dit is na 3 keer al het geval. Oftewel $$N = 500.000 · 1,075^2 = 577.813$$ en $$N = 500.000 · 1,075^3 = 621.148$$. Dus na 3 jaar is het aantal sportende jongeren meer dan 600.000, dus in 2016.
