Het meest gebruiksvriendelijke oefenprogramma vól slimmigheden
Oplossen van kwadratische vergelijkingen met breuken
Met Slimleren oefenen leerlingen thuis of in de les, op een leuke en interactieve manier, de stof die jij voor ze klaar zet. Benieuwd naar onze stof? Hieronder zie je hoe het onderwerp Oplossen van kwadratische vergelijkingen met breuken eruit ziet. Leerlingen kunnen in Slimleren vragen over dit - en ieder ander - onderwerp maken. Docenten kunnen de resultaten daarvan inzien en daarmee hun lessen efficiënter inrichten en makkelijker differentiëren.
Oplossen van kwadratische vergelijkingen met breuken
Theorie
Uitdaging
Het oplossen van een kwadratische vergelijking met breuken is iets lastiger dan zonder breuken. Als je zo'n vergelijking wilt oplossen dan moet je namelijk als tussenstap de vergelijking vermenigvuldigen met een bepaald getal om de breuken weg te werken. Dat maakt de vergelijking vaak direct overzichtelijker.
In deze theorie leggen we je uit hoe dat werkt.
Methode
Volg altijd het stappenplan om een kwadratische vergelijking met breuken op te lossen.
Voorbeeld: los de vergelijking $$\frac{1}{2}(x - 2)(x + 1) = 9$$ op.
Stap 1: Werk eerst de haakjes weg.
$$\frac{1}{2} (x^{2} - x - 2) = 9$$
$$\frac{1}{2}x^{2} - \frac{1}{2}x - 1 = 9$$
Stap 2: Maak het rechter lid 0.
$$\frac{1}{2}x^{2} - \frac{1}{2}x - 10 = 0$$
Stap 3: Nu gaan we de breuken wegwerken. Vermenigvuldig alle termen met 2 zodat er factor 1 voor $$x^2$$ staat.$$x^2 - x - 20 = 0$$
Stap 4: Ontbind in factoren.
(x - 5)(x + 4) = 0 (product-som methode)
Stap 5: Gebruik A · B = 0 geeft A = 0 ∨ B = 0 of x2 = c
A · B = 0 geeft A = 0 ∨ B = 0, dus x - 5 = 0 ∨ x + 4 = 0, dus x = 5 ∨ x = -4
Let op! Als het rechterlid al gelijk staat aan 0 en er al factor 1 voor $$x^2$$ staat begin je bij stap 4. Bijvoorbeeld bij de vergelijking (x + 1)(x - 3) = 0 kun je direct zien dat x + 1 = 0 ∨ x - 3 = 0.
Dus dan weet je: x = -1 ∨ x = 3.
Vuistregels
Oplossen van een kwadratische vergelijking met een breuk:
- Stap 1: Werk eerst de haakjes weg.
- Stap 2: Maak het rechterlid 0.
- Stap 3: Werk de breuken weg door de gehele vergelijking zodanig te vermenigvuldigen dat er factor 1 voor x2 staat.
- Stap 4: Ontbind in factoren.
- Stap 5: Gebruik A · B = 0 geeft A = 0 ∨ B = 0 of x2 = c.
Voorbeeldvraag
Los de vergelijking op:
$$\frac{1}{4}(x + 1)(x + 5) = \frac{-3}{4}$$
Uitwerking
Stap 1: Werk de haakjes weg.
$$\frac{1}{4}(x^{2} + 6x + 5) = \frac{-3}{4}$$
$$\frac{1}{4}x^{2} + \frac{3}{2}x + \frac{5}{4} = \frac{-3}{4}$$
Stap 2: Maak het rechterlid 0.
$$\frac{1}{4}x^{2} + \frac{3}{2}x + \frac{5}{4} - \frac{-3}{4} = 0$$
$$\frac{1}{4}x^{2} + \frac{3}{2}x + \frac{5}{4} + \frac{3}{4} = 0$$
$$\frac{1}{4}x^{2} + \frac{3}{2}x + 2 = 0$$
Stap 3: Vermenigvuldig de vergelijking met 4.
$$x^{2} + 6x + 8 = 0$$
Stap 4: Ontbind in factoren.
(x + 2)(x + 4) = 0
Stap 5: Gebruik A · B = 0 geeft A = 0 ∨ B = 0
x + 2 = 0 ∨ x + 4 = 0
x = -2 ∨ x = -4
