Het meest gebruiksvriendelijke oefenprogramma vól slimmigheden
Lineaire en exponentiële groei
Met Slimleren oefenen leerlingen thuis of in de les, op een leuke en interactieve manier, de stof die jij voor ze klaar zet. Benieuwd naar onze stof? Hieronder zie je hoe het onderwerp Lineaire en exponentiële groei eruit ziet. Leerlingen kunnen in Slimleren vragen over dit - en ieder ander - onderwerp maken. Docenten kunnen de resultaten daarvan inzien en daarmee hun lessen efficiënter inrichten en makkelijker differentiëren.
Lineaire en exponentiële groei
Theorie
.png)
.png)
Uitdaging
Tussen exponentiële en lineaire groei zitten grote verschillen. Het is belangrijk om deze te weten, zodat je ze uit elkaar kunt kunnen houden.
In deze theorie leggen we je nog eens kort uit wat beide vormen van groei inhoudt, laten we zien hoe je ermee kunt rekenen en hoe je het verschil kunt bepalen.
Methode
Lineaire groei
Bij lineaire groei neemt een hoeveelheid steeds met dezelfde hoeveelheid toe of af. Je hebt hier dus te maken met optellen en aftrekken.
Een lineaire formule heeft de vorm van N = at + b.
Om deze formule in te vullen, volg je de volgende stappen:
- Stap 1: Bepaal a.
a is met hoeveel N verandert als er 1 t bijkomt. Je kunt dit berekenen door een bepaalde hoeveelheid af te trekken van de volgende hoeveelheid.
Dus bijvoorbeeld a = hoeveelheid in periode 2 - hoeveelheid in periode 1
- Stap 2: Bepaal b.
b is het getal wat je zou overhouden bij t = 0.
Exponentiële groei
Bij exponentiële groei wordt een hoeveelheid steeds met hetzelfde getal vermenigvuldigd.
De exponentiële formule heeft de vorm van N = gt · b.
Om deze formule in te vullen, volg je de volgende stappen:
- Stap 1: Bepaal g.
g is de groeifactor en de hoeveelheid waarmee N verandert. Je kunt dit berekenen door een bepaalde hoeveelheid te delen door de vorige hoeveelheid.
Dus bijvoorbeeld $$g=\frac{\mbox{hoeveelheid in periode 2}}{\mbox{hoeveelheid in periode 1}} $$
- Stap 2: Bepaal b.
b is het getal wat je zou overhouden bij t = 0.
Je ziet dat deze soorten groei veel overeenkomsten hebben. Wanneer je er mee moet gaan rekenen, zijn ze echter totaal verschillend! Om ze goed uit elkaar te houden kun je onthouden dat je bij een lineaire formule te maken hebt met optellen en aftrekken, terwijl je bij een exponentiële formule je te maken hebt met vermenigvuldigingen.
Vuistregels
- Bij lineaire groei:
- Neemt een hoeveelheid steeds met dezelfde hoeveelheid toe of af.
- Heeft de formule de vorm van N = at + b.
- Heb je te maken met optellen en aftrekken. - Bij exponentiële groei:
- Wordt een hoeveelheid steeds met hetzelfde getal vermenigvuldigd.
- Heeft de formule de vorm van N = gt · b.
- Heb je te maken met vermenigvuldigingen.
Voorbeeldvraag
Kijk naar de twee tabellen. Bij welke tabel hoort lineaire groei en bij welke exponentiële? Geef voor beide soorten groei ook de formule.
Tabel 1:
$$\newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \begin{array}{c|c|c|c} t & 0 & 1 & 2 & 3 \T \\\hline N \T & 10 & 20 & 40 & 80 \end{array}$$
Tabel 2:
$$\newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \begin{array}{c|c|c|c} t & 0 & 1 & 2 & 3 \T \\\hline N \T & 10 & 20 & 30 & 40 \end{array}$$
Uitwerking
Bij tabel 1 hoort exponentiële groei, want de hoeveelheid wordt steeds met hetzelfde getal vermenigvuldigd. De formule die bij een exponentiële functie hoort, heeft de vorm van N = gt · b. Om deze in te vullen, gebruiken we het stappenplan.
- Bepaal g.
$$\frac{20}{10} = 2$$
$$\frac{40}{20} = 2$$
$$\frac{80}{40} = 2$$
- Bepaal b.
Deze waarde kun je uit de tabel aflezen bij t = 0. In deze som is het goede antwoord 10.
N = 2t · 10
Bij tabel 2 hoort lineaire groei, want de hoeveelheid neemt steeds met hetzelfde getal toe. De formule die bij een lineaire functie hoort, heeft de vorm van N = at + b. Om deze in te vullen, gebruiken we het stappenplan.
- Bepaal a.
20 - 10 = 10
30 - 20 = 10
40 - 30 = 10 - Bepaal b.
Deze waarde kun je uit de tabel aflezen bij t = 0. In deze som is het goede antwoord 10.
N = 10t + 10
