Het meest gebruiksvriendelijke oefenprogramma vól slimmigheden
De formule y = a(x - d)(x - e) opstellen
Met Slimleren oefenen leerlingen thuis of in de les, op een leuke en interactieve manier, de stof die jij voor ze klaar zet. Benieuwd naar onze stof? Hieronder zie je hoe het onderwerp De formule y = a(x - d)(x - e) opstellen eruit ziet. Leerlingen kunnen in Slimleren vragen over dit - en ieder ander - onderwerp maken. Docenten kunnen de resultaten daarvan inzien en daarmee hun lessen efficiënter inrichten en makkelijker differentiëren.
De formule y = a(x - d)(x - e) opstellen
Theorie
Uitdaging
Aan de hand van een formule kun je punten op een parabool berekenen. Stel dat je wel de coördinaten van een aantal punten van een parabool weet, maar de formule van de parabool nog niet compleet is, dan kan het ook andersom!
Zo kan dat ook bij de functie met de vorm f(x) = a(x - d)(x - e).
Methode
In plaats van rekenen met de functie f(x) = a(x - d)(x - e), gaan we deze nu opstellen. Soms is a gegeven, maar als dit niet het geval is kun je a ook zelf berekenen als je een aantal punten van een parabool weet.
Voorbeeld: gegeven is de functie f(x) = a(x - 2)(x - 5). Je weet dat deze grafiek de x-as snijdt in de punten (2,0) en (5,0).
Wat je nog niet weet is hoe de grafiek loopt. Hij kan heel hoog en smal zijn of wat lager en breder. Er zijn dus meerdere grafieken die er verschillend uitzien, maar toch allemaal door de punten (2,0) en (5,0) kunnen gaan.
Wat het verschil maakt is a. En om a te berekenen heb je dus nóg een ander punt van de grafiek nodig.
Stel nu dat je van de functie f(x) = a(x - 2)(x - 5) ook weet dat deze door het punt (3,8) loopt. Om a te berekenen vul je de x-coördinaat (3) van dat punt in de formule in en stel je deze gelijk aan de y-coördinaat (8).
a(3 - 2)(3 - 5) = 8
Vervolgens kun je de vergelijking oplossen voor a.
a · 1 · -2 = 8
-2a = 8
$$a = \frac{8}{-2} = -4$$
a = -4
Nu kun je de hele formule opschrijven: y = -4(x - 2)(x - 5).
Vuistregels
- De formule y = a(x - d)(x - e) snijdt de x-as in de punten (d,0) en (e,0)
Voorbeeldvraag
Van een parabool weet je dat de de x-as snijdt in de punten A(1,0) en B(-4,0).
Ook weet je dat deze door het punt (2,-4) gaat.
a. Schrijf de formule van de parabool op in de algemene vorm y = a(x - d)(x - e).
b. Bereken a en rond zo nodig af op 2 decimalen.
c. Stel de formule van de grafiek op.
Uitwerking
a. Omdat je weer waar de parabool de x-as snijdt, kun je de vergelijking tot dusver opstellen:
y = a(x - d)(x - e)
Waarbij d en e de x-coördinaten zijn van de snijpunten van de parabool met de x-as.
y = a(x - 1)(x - -4)
y = a(x - 1)(x + 4)
b.
Stap 1. Vul de coördinaten in de formule in: a(2 - 1)(2 + 4) = -4
Stap 2. Los de vergelijking op: a(2 - 1)(2 + 4) = -4
a · 1 · 6 = -4
6a = -4
a = -0,666.. $$\approx{-0,67}$$
c. y = -0,67(x - 1)(x + 4)
