Het meest gebruiksvriendelijke oefenprogramma vól slimmigheden
Top afleiden f(x) = a(x - d)(x - e)
Met Slimleren oefenen leerlingen thuis of in de les, op een leuke en interactieve manier, de stof die jij voor ze klaar zet. Benieuwd naar onze stof? Hieronder zie je hoe het onderwerp Top afleiden f(x) = a(x - d)(x - e) eruit ziet. Leerlingen kunnen in Slimleren vragen over dit - en ieder ander - onderwerp maken. Docenten kunnen de resultaten daarvan inzien en daarmee hun lessen efficiënter inrichten en makkelijker differentiëren.
Top afleiden f(x) = a(x - d)(x - e)
Theorie
Uitdaging
Een functie die bij een parabool hoort zegt je veel over welke coördinaten bij de parabool horen. Door goed naar de functie te kijken, kun je hier al veel uit afleiden en zo verder rekenen om achter andere coördinaten te komen.
Zo kun je bijvoorbeeld de coördinaten van de top afleiden van een functie met de volgende vorm: f(x) = a(x - d)(x - e).
Methode
De functie f(x) = a(x - d)(x - e) zegt op zichzelf al veel over een parabool. Er zijn een aantal punten die je vanuit een functie kunt berekenen.
1. De coördinaten van de snijpunten van de grafiek met de x-as.
De getallen die voor d en e zijn ingevuld zijn de x-coördinaten van de snijpunten die de grafiek met de x-as heeft. Aan de hand van een gegeven functie kun je dus de coördinaten afleiden van deze snijpunten met de x-as. Let wel goed op de minnen en plussen! Als de functie f(x) = 3(x - 3)(x -2) is, dan zijn de x-coördinaten van de snijpunten 3 en 2. Maar als de functie f(x) = 3(x + 3)(x + 2) is, dan zijn de x-coördinaten van de snijpunten -3 en -2.
Voorbeeld: gegeven is de functie f(x) = -2(x + 2)(x - 4). De grafiek f(x) snijdt de x-as in de punten (-2,0) en (4,0).
2. De x-coördinaat van de top van de parabool.
Een parabool is symmetrisch. De top van de parabool, of het nu gaat om een dal- of bergparabool, ligt dus precies in het midden van de 2 snijpunten met de x-as. Om de coördinaten van de top te berekenen wil je dus eerst de x weten die in het midden van de snijpunten met de x-as ligt.
Voorbeeld: de snijpunten met de x-as in het voorbeeld waren (-2,0) en (4,0). De x die in het midden daarvan ligt is :
$$x_{\mbox{top}}=\frac{-2 + 4}{2} = 1$$
3. De y-coördinaat van de top van de parabool.
Nu je de x-coördinaat weet kun je deze invullen in de functie, zodat je de bijbehorende y berekent, oftewel de y-coördinaat van de top van de parabool.
Voorbeeld: we hebben net berekend dat de x-coördinaat van de top de parabool 1 is. Invullen in de functie geeft:
ytop = f(1) = -2(1 + 2)(1 - 4) = -2 · 3 · -3 = 18.
4. De top van de parabool is het punt T(1,18).
Vuistregels
- $$x_{\mbox{top }}=\frac{\mbox{d + e}}{2}$$
Voorbeeldvraag
Gegeven is de functie $$f(x) = \frac{1}{2}(x - 4)(x + 5)$$
Bereken de coördinaten van de top T van de parabool. Rond zo nodig af op 1 decimaal.
Uitwerking
De coördinaten van de snijpunten van de grafiek met de x-as zijn (4,0) en (-5,0).
$$x_{\mbox{top }}=\frac{4 - 5}{2} = -0,5$$
$$y_{\mbox{top }}=f(-0,5) = \frac{1}{2}(-0,5 - 4)(-0,5 + 5) = \frac{1}{2} · -4,5 · 4,5 \approx -10,1$$
De top is het punt $$T(-0,5;-10,1)$$
