Slimleren.nl

Bewijzen van een stelling

Met Slimleren oefenen leerlingen thuis of in de les, op een leuke en interactieve manier, de stof die jij voor ze klaar zet. Benieuwd naar onze stof? Hieronder zie je hoe het onderwerp Bewijzen van een stelling eruit ziet. Leerlingen kunnen in Slimleren vragen over dit - en ieder ander - onderwerp maken. Docenten kunnen de resultaten daarvan inzien en daarmee hun lessen efficiënter inrichten en makkelijker differentiëren.

bewijzen
vermoeden
stellingen
bewijzen van een stelling
beweringen

Theorie

Uitdaging

In de wiskunde wordt er regelmatig gesproken over vermoedens, stellingen en definities. Omdat de wiskunde een exacte wetenschap is, wordt aan vermoedens en stellingen niet zoveel waarde gehecht, tenzij je dit vermoeden of deze stelling kunt bewijzen.

In deze theorie leer je hoe je het bewijzen van een vermoeden of stelling met betrekking tot een wiskundig figuur moet aanpakken.

Methode

Een vermoeden is een bewering die niet is bewezen.
Je kunt bewijzen dat een vermoeden niet waar is door een tegenbewijs te geven.
Een stelling is een eigenschap die wel of niet bewezen is.
Het bewijzen van een stelling doe je door te laten zien waarom deze juist is.
Een definitie legt vast wat een bepaald begrip betekent.

Wanneer er aan je gevraagd wordt om een stelling te bewijzen in een wiskundig figuur, schrijf dan eerst voor jezelf op wat er al gegeven is. Vervolgens ga je kijken wat je over de lijnen en hoeken in dit figuur kunt zeggen. Denk hierbij aan de definities van:

Overstaande hoeken
Z-hoeken
F-hoeken
Bissectrice
Som van een driehoek = 180°
Som van een vierhoek = 360°
etc.

Kijk tot slot of je met behulp van de gegevens en de definities die te maken hebben met het figuur waar je naar kijkt kunt bewijzen of de stelling waar is.

Vuistregels

Een vermoeden is een bewering die nog niet kunt bewijzen.
Een stelling is een eigenschap die je kunt bewijzen.
Een definitie legt vast wat een bepaald begrip betekent.

Voorbeeldvraag

a. Wat is het verschil tussen een vermoeden en een stelling?

b. Kijk naar de afbeelding.

Bewijs het vermoeden dat AD = 7 (rond af op hele getallen).

Uitwerking:

a. Een vermoeden is in de wiskunde een wiskundige uitspraak waarvan iemand denkt dat deze waar is, maar waarvoor nog geen bewijs is gevonden. Een stelling is een meer uitgesproken uiting, waarbij iemand claimt dat er bewijs beschikbaar is om aan te kunnen nemen dat de stelling waar is. Een vermoeden is dus een wat meer voorzichtige uiting dan een stelling.

b. Schrijf voor jezelf op welke gegevens al gegeven zijn:

AB = 12

BC = 5

Lijnstuk DE snijdt AC in het midden.

Kijk wat je nog meer over de lijnen en hoeken in het figuur kan zeggen:

Driehoek ABC is gelijkvormig met driehoek ADE, dus je kunt een kruistabel maken:

$$\newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \begin{array}{c|c|c|c} AB & BC & AC \T \\\hline \T AE & DE & AD \end{array}$$

Probeer met deze gegevens te bewijzen of de stelling waar is:

AC² = AB²+ BC² = 12² + 5² = 169

$$AC = \sqrt{169} = 13$$

$$AE = \frac{1}{2} · AC = \frac{1}{2} · 13 = 6,5$$

$$\newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \begin{array}{c|c|c|c} 12 & 5 & 13 \T \\\hline \T 6,5 & DE & AD \end{array}$$

AB · AD = AE · AC