Slimleren.nl

Lineaire vergelijkingen met breuken oplossen

Met Slimleren oefenen leerlingen thuis of in de les, op een leuke en interactieve manier, de stof die jij voor ze klaar zet. Benieuwd naar onze stof? Hieronder zie je hoe het onderwerp Lineaire vergelijkingen met breuken oplossen eruit ziet. Leerlingen kunnen in Slimleren vragen over dit - en ieder ander - onderwerp maken. Docenten kunnen de resultaten daarvan inzien en daarmee hun lessen efficiënter inrichten en makkelijker differentiëren.

oplossen van lineaire vergelijkingen
vergelijkingen oplossen
de balansmethode
vergelijkingen met breuken
rechterlid
linkerlid

Theorie

Uitdaging

Het oplossen van lineaire vergelijkingen met breuken gaat op dezelfde manier als het oplossen van een vergelijking zonder breuken. Je kan het voor jezelf alleen iets makkelijker maken door een extra stapje in te bouwen waarmee je de breuk wegwerkt. Dit stapje houdt in dat je de breuken in de vergelijking met een getal vermenigvuldigt, zodat er hele getallen ontstaan.

Hoe dit precies werkt leggen we je uit in deze theorie.

Methode

Om een lineaire vergelijking met breuken op te lossen moet je eerst een extra stap doen voordat je het normale stappenplan voor het oplossen van een lineaire vergelijking doorloopt. Je moet de breuk wegwerken. Dit stapje houdt in dat je de breuken in de vergelijking met een getal vermenigvuldigt, zodat er hele getallen ontstaan.

Stel je hebt de vergelijking

$\frac{2}{6}x + 4 = \frac{8}{6}x - 2$

Stap 1: Werk de breuken weg.
Je ziet dat beide breuken dezelfde noemer hebben, namelijk 6. Je begrijpt misschien wel dat als je deze breuken vermenigvuldigt met 6, dat je dan hele getallen overhoudt. De teller wordt dan namelijk een veelvoud van 6, zodat er een heel getal ontstaat.

Vermenigvuldig in dit geval dus eerst beide zijden van de vergelijking met het getal 6. De vergelijking wordt nu:

$6 · (\frac{2}{6}x + 4) = 6 · (\frac{8}{6}x - 2)$
$\frac{2}{6}x \cdot 6 + 4\cdot 6 = \frac{8}{6}x\cdot 6 - 2\cdot 6$
$\frac{12}{6}x + 24 = \frac{48}{6}x - 12$
${2x + 24 = 8x - 12}$

Je kunt nu de andere stappen doorlopen om de vergelijking op te lossen.

Stap 2: Werk de haakjes weg.
Dit zijn er niet.

Stap 3: Alle termen met een x erin (dit kan ook een andere letter zijn) naar het linkerlid halen.
2x + 24 = 8x - 12
-6x + 24 = -12

Stap 4: Alle termen zonder x erin (dus de losse getallen) naar het rechterlid halen.
-6x + 24 = -12
-6x = -36

Stap 5: Bepaal x.
$x = \frac{-36}{-6} = 6$

Stap 6: Controle
$\frac{2}{6}x + 4 = \frac{8}{6}x - 2$ met x = 6 geeft:
$\frac{2}{6} · 6 + 4 = \frac{8}{6} · 6 - 2$ = 6. Het klopt dus inderdaad!

Let op: om een vergelijking met breuken erin op te lossen is het niet per se nodig om de breuken eerst weg te werken, maar het kan wel helpen om het rekenen wat makkelijker te maken.

Breuken met verschillende noemers

Bij het voorbeeld hiervoor zie je direct dat je met 6 moet vermenigvuldigen om de breuken weg te werken omdat beide breuken dezelfde noemer hebben, maar als je een vergelijking hebt met breuken met verschillende noemers dan is het iets lastiger om te bepalen met welk getal je beide kanten moet vermenigvuldigen om de breuken weg te werken.

Neem bijvoorbeeld

$\frac{1}{2}x + 5 = \frac{2}{5}x - 2$

De breuken hebben hier niet dezelfde noemer. Om

$\frac{1}{2}$ weg te werken zou je kunnen vermenigvuldigen met 2. Maar om

$\frac{2}{5}$ weg te werken zou je moeten vermenigvuldigen met 5. Om beide breuken weg te werken kun je in dit geval de 2 getallen waarmee je zou vermenigvuldigen met elkaar vermenigvuldigen, 2 · 5 = 10. Als je nu de hele vergelijking met 10 vermenigvuldigt, werk je beide breuken in één keer weg.

$\frac{1}{2}x + 5 = \frac{2}{5}x - 2$

$\frac{10}{2}x + 50 = \frac{20}{5}x - 20$

${5x + 50 = 4x - 20}$

Vuistregels

Stappenplan voor het oplossen van een lineaire vergelijking met breuken:

Breuken wegwerken
Haakjes wegwerken
Termen met een x erin allemaal in het linkerlid krijgen
Alle andere termen in het rechterlid krijgen
Bepalen wat x is
Controleren

Voorbeeldvraag

Los de volgende vergelijkingen op:

$\frac{3}{9}x - 6 = \frac{4}{5}x - 9$

$\frac{5}{6}x + 4 = -\frac{8}{5}x + 8$

$-\frac{12}{7}x + 4 = -\frac{8}{6}x - 42$

Uitwerking

$\frac{3}{9}x - 6 = \frac{4}{5}x - 9$

Om dat de noemers niet gelijk zijn vermenigvuldigen we deze met elkaar: 9 · 5 = 45. Vervolgens vermenigvuldigen we de hele vergelijking met 45.

$\frac{3 · 45}{9}x - 6\cdot 45 = \frac{45 · 4}{5}x - 9\cdot 45$

$15x - 270 = 36x - 405$

$-21x = -135$

$x = \frac{135}{21} = 6,43$

$\frac{5}{6}x + 4 = -\frac{8}{5}x + 8$

Om dat de noemers niet gelijk zijn vermenigvuldigen we deze met elkaar: 6 · 5 = 30. Vervolgens vermenigvuldigen we de hele vergelijking met 30.

$\frac{30 · 5}{6}x + 4 \cdot 30= -\frac{30 · 8}{5}x + 8\cdot 30$

$25x + 120 = -48x + 240$

$73x = 120$

$x = \frac{120}{73}=1,64$

$-\frac{12}{7}x + 4 = -\frac{8}{6}x - 42$

Om dat de noemers niet gelijk zijn vermenigvuldigen we deze met elkaar: 7 · 6 = 42. Vervolgens vermenigvuldigen we de hele vergelijking met 42.

$-\frac{12 · 42}{7}x + 4 \cdot 42 = -\frac{8 · 42}{6}x - 42 \cdot 42$

$-72x + 168 = -56x - 1764$

$-16x = -1932$