Het meest gebruiksvriendelijke oefenprogramma vól slimmigheden
Hoeken en zijden berekenen van gelijkbenige driehoeken
Met Slimleren oefenen leerlingen thuis of in de les, op een leuke en interactieve manier, de stof die jij voor ze klaar zet. Benieuwd naar onze stof? Hieronder zie je hoe het onderwerp Hoeken en zijden berekenen van gelijkbenige driehoeken eruit ziet. Leerlingen kunnen in Slimleren vragen over dit - en ieder ander - onderwerp maken. Docenten kunnen de resultaten daarvan inzien en daarmee hun lessen efficiënter inrichten en makkelijker differentiëren.
Hoeken en zijden berekenen van gelijkbenige driehoeken
Theorie
Uitdaging
Als er genoeg informatie is, kun je ook bij gelijkbenige driehoeken (dit zijn dus geen rechthoekige driehoeken) met de sinus, cosinus of tangens de lengte van een zijde berekenen of het aantal graden van een hoek berekenen. Dit doe je door een loodlijn te tekenen waardoor je vervolgens weer twee rechthoekige driehoeken hebt, waarmee je goed kunt rekenen.
In deze theorie leggen we je uit hoe dit precies in zijn werk gaat.
Methode
In het volgende voorbeeld wordt duidelijk hoe je de hoeken van een gelijkbenige driehoek kan berekenen.
Gegeven is $$\Delta{ABC}$$ met AB = 7,4 en AC = BC = 8,3. Zie figuur 1.
Bereken $$\angle{A}$$ en $$\angle{C}$$. Rond af op 2 decimalen.
Stappenplan:
Stap 1: Teken een loodlijn.
Om de hoeken te berekenen heb je een rechthoekige driehoek nodig waarvan je 2 zijden weet. Teken daarom hulplijn CD met D op AB zoals in figuur 2. Je tekent de loodlijn precies door het midden van de hoek waar de gelijke benen (AC en BC) aan vast zitten.
Stap 2: Bereken $$\angle{A}$$
Je kunt nu de hoeken berekenen.
Je weet de aanliggende rechthoekszijde AD en de schuine zijde AC, je gebruikt dus cosinus.
$$\mbox{cos }(\angle{A}) = \frac{AD}{AC} = \frac{3,7}{8,3}$$
$$\angle{A} = \mbox{cos }^{-1}(\frac{3,7}{8,3}) = 63,526..°$$
Stap 3: Bereken $$\angle{C}$$
Dan bereken je $$\angle{C}$$. Je weet dat de som van de hoeken van een driehoek altijd 180° is. Je weet ook dat $$\angle{A}$$ gelijk is aan $$\angle{B}$$ omdat het een gelijkbenige driehoek is. Om $$\angle{C}$$ te berekenen doe je dus 180° - 2 · $$\angle{A}$$. Gebruik het niet afgeronde getal voor $$\angle{A}$$, gebruik dus de functie Ans op je rekenmachine.
$$\angle{C} = 180° - 2 · 63,526..° = 52,946..°$$
$$\angle{A}$$ is ongeveer 63,53° en $$\angle{C}$$ is ongeveer 52,95°.
Een tip: vaak wil je docent niet dat je tijdens het berekenen getallen afrond. Let er altijd op dat je met de toets Ans op je rekenmachine het antwoord van de laatste berekening terug krijgt op het scherm. Op die manier hoef je niet af te ronden tijdens je berekening!
Vuistregels
- In een gelijkbenige driehoek moet je een loodlijn tekenen om hoeken te berekenen met sinus, cosinus en tangens.
- $$\mbox{Sin }(\angle {A}) = \frac{\mbox{ overstaande rechthoekszijde van} \angle{A}}{\mbox{ schuine zijde}}$$
- $$\mbox{Cos }(\angle{A}) = \frac{\mbox{ aanliggende rechthoekszijde van}\angle{A}}{\mbox{ schuine zijde}}$$
- $$\mbox{Tan }(\angle{A}) = \frac{\mbox{ overstaande rechthoekszijde van} \angle{A}}{\mbox{ aanliggende rechthoekszijde van}\angle{A}}$$
Voorbeeldvraag
Gegeven is $$\Delta{DEF}$$metDE= 5,8 enDF =EF = 7,3. Zie figuur 3.
Bereken $$\angle{E}$$ en $$ \angle{F}$$. Rond af op 2 decimalen.
Uitwerking:
Om de hoeken te kunnen berekenen heb je een rechthoekige driehoek nodig waarvan je 2 zijden weet. Teken daarom hulplijn FG met punt G op zijde DE zoals in figuur 4.
Je berekent eerst E. Je weet de aanliggende rechthoekszijde GE en de schuine zijde EF, je gebruikt dus cosinus.
$$\mbox{cos }(\angle{E}) = \frac{GE}{EF} = \frac{2,9}{7,3}$$
$$\angle{E} = cos^{-1}(\frac{2,9}{7,3}) = 66,592..^{\circ}$$
Dan bereken je $$\angle{F}$$.
Je weet dat de som van de hoeken van een driehoek altijd 180° is. Je weet ook dat $$\angle{E}$$ gelijk is aan $$\angle{D}$$ omdat het een gelijkbenige driehoek is.
Om $$\angle{F}$$ te berekenen doe je dus $$180^{\circ} - 2 · \angle{E}$$. Gebruik het niet afgeronde getal voor $$\angle{E}$$, gebruik dus de functie Ans op je rekenmachine.
$$\angle{F} = 180^{\circ} - 2 · 66,592..° = 46,814..^{\circ}$$ $$\angle{E} =\mbox{ongeveer 66,59}^{\circ}$$ en $$\angle{F} =\mbox{ongeveer 46,81}^{\circ}$$.
