Het meest gebruiksvriendelijke oefenprogramma vól slimmigheden
Herleiden van lastige wortelsommen
Met Slimleren oefenen leerlingen thuis of in de les, op een leuke en interactieve manier, de stof die jij voor ze klaar zet. Benieuwd naar onze stof? Hieronder zie je hoe het onderwerp Herleiden van lastige wortelsommen eruit ziet. Leerlingen kunnen in Slimleren vragen over dit - en ieder ander - onderwerp maken. Docenten kunnen de resultaten daarvan inzien en daarmee hun lessen efficiënter inrichten en makkelijker differentiëren.
Herleiden van lastige wortelsommen
Theorie
Uitdaging
Voor het rekenen met wortels bestaan de volgende rekenregels:
Optellen en aftrekken kan alleen met gelijksoortige wortels. Je volgt de regel: $$a\sqrt{x} + b\sqrt{x} = (a + b)\sqrt{x}$$. Voor het vermenigvuldigen van wortels geldt de regel $$\sqrt{a}$$ · $$\sqrt{b}$$ = $$\sqrt{ab}$$. Voor het delen van wortels geldt de regel $$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$ = $$\sqrt{\frac{a}{b}}$$.
Je kunt wortels ook herleiden. Hoe je alle soorten wortels kunt herleiden leggen we je hier uit.
Methode
Factor voor het wortelteken brengen:
$$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$$ Als je een factor voor een wortelteken wilt brengen maak je gebruik van deze rekenregel, maar dan omgekeerd.
Neem bijvoorbeeld $$\sqrt{18}$$. Als je een factor voor de wortel wilt halen, begin je door alle mogelijkheden op te schrijven, waarmee je de wortel schrijft als een product van 2 wortels:
$$\sqrt{18} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{9}$$
$$\sqrt {18} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{6}$$
Je bent opzoek naar het product waarbij je één van beide wortels als een heel getal kunt schrijven, zoals $$\sqrt{4} = 2, \sqrt{9} = 3, \sqrt{25} = 5, \mbox{ enz.}$$
In dit geval kun je alleen $$\sqrt{9}$$ als een heel getal schrijven, dus je neemt:
$$\sqrt{18} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{9}$$
En dit ga je vervolgens korter opschrijven:
$$\sqrt{18} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{9} = \sqrt{2} \cdot 3 = 3\sqrt{2}$$
Wortel uit de noemer van een breuk wegwerken:
Bij het wegwerken van de wortel uit de noemer vermenigvuldig je zowel de noemer als de teller met de wortel.
$$\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a · \sqrt{b}}{\sqrt{b} · \sqrt{b}} = \frac {a\sqrt{b}}{b}= \frac{a}{b}\sqrt{b}$$
Breuk onder het wortelteken wegwerken:
Bij het wegwerken van een breuk onder het wortelteken, maak je gebruik van de rekenregel voor het delen van wortels en de regel voor het wegwerken van een wortel uit de noemer van een breuk. Je krijgt: $$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} · \sqrt{b}}{\sqrt{b} · \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{ab}}{b} = \frac{1}{b}{\sqrt{ab}}$$
Vuistregels
- $$a\sqrt{x} + b\sqrt{x} = (a + b)\sqrt{x}$$
- $$\sqrt{a}$$ · $$\sqrt{b}$$ = $$\sqrt{ab}$$
- $$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$ = $$\sqrt{\frac{a}{b}}$$
Voor het herleiden van wortels:
- Breng een zo groot mogelijke factor voor het wortelteken.
- Werk een wortel uit de noemer van een breuk weg.
- Werk een breuk onder het wortelteken weg.
Voorbeeldvraag
a. $$\sqrt{3} - \sqrt{2} + 3\sqrt{3}$$
b. $$\frac{12\sqrt{18}}{4\sqrt{2}}$$
c. $$\sqrt{5} · \sqrt{20}$$
Uitwerking
a. $$\sqrt{3} - \sqrt{2} + 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - \sqrt{2}$$
Deze som kan je niet verder herleiden omdat $$\sqrt{2}$$ en $$\sqrt{3}$$ niet gelijksoortig zijn.
b. $$\frac{12\sqrt{18}}{4\sqrt{2}} = \frac{12 · \sqrt{9} · \sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \frac{12 · 3 · \sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \frac{36 · \sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \frac{36}{4} = 9$$ of $$\frac{12\sqrt{18}}{4\sqrt{2}} = 3\sqrt{9} = 3 · 3 = 9$$
c. $$\sqrt{5} · \sqrt{20} = \sqrt{100} = 10$$
