Het meest gebruiksvriendelijke oefenprogramma vól slimmigheden
De top van een parabool bepalen door kwadraatafsplitsen
Met Slimleren oefenen leerlingen thuis of in de les, op een leuke en interactieve manier, de stof die jij voor ze klaar zet. Benieuwd naar onze stof? Hieronder zie je hoe het onderwerp De top van een parabool bepalen door kwadraatafsplitsen eruit ziet. Leerlingen kunnen in Slimleren vragen over dit - en ieder ander - onderwerp maken. Docenten kunnen de resultaten daarvan inzien en daarmee hun lessen efficiënter inrichten en makkelijker differentiëren.
De top van een parabool bepalen door kwadraatafsplitsen
Theorie
Uitdaging
De top van de parabool met de formule y = a(x - p)2 + q heeft de coördinaten (p,q).
Als de formule nog niet in deze vorm staat, kun je deze vaak zo herschrijven dat je deze vorm krijgt. Dan is het gemakkelijker om de top van de parabool te vinden. Dit omschrijven van de formule noemen we kwadraatafsplitsen.
Hoe je met behulp van kwadraatsfplitsen de positie van de top van de parabool kunt bepalen leggen we je uit in deze theorie.
Methode
Hoe je een formule van de vorm y = ax2 + bx + c om kunt schrijven naar een formule in de vorm y = a(x - p)2 + q laten we zien aan de hand van een voorbeeld.
Neem bijvoorbeeld de formule y = x2 + 4x + 3
In dit voorbeeld is a = 1, b = 4 en c = 3.
Voor kwadraatafsplitsen is er een algemeen trucje bedacht. Als je gaat kwadraat afsplitsen vul je deze formule in en werk deze vervolgens uit:
$$y = a\left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left (\frac{b}{2}\right )^2 + c$$ .
$$y = \left(x + \frac{4}{2}\right)^2 - \left (\frac{4}{2}\right )^2 + 3 = (x + 2)^2 - 4 + 3 = (x + 2)^2 -1$$
Je kunt de coördinaten van de top van de parabool nu uit de formule aflezen. Er staat y = (x + 2)2 - 1.
- Als een parabool de formule heeft in de vorm a(x - p)2 + q dan is de top van de parabool op punt (p,q).
- Als een parabool de formule heeft in de vorm a(x + p)2 + q dan staat er eigenlijk a(x - -p)2 + q en is de top van de parabool (-p,q).
- Als een parabool de formule heeft in de vorm a(x + p)2 - q dan staat er eigenlijk a(x - -p)2-+ q en is de top van de parabool (-p,-q).
Let dus goed op de minnen en plussen in de formule!
De top in het voorbeeld heeft dus de coördinaten (-2,-1).
De formule die je gebruikt voor het kwadraatafsplitsen is een trucje om de formule om te schrijven. Je verandert de formule niet, je schrijft het alleen anders op. Als je de haakjes weer weg werkt, kom je op je oorspronkelijke formule uit:
y = (x + 2)2 - 1
y = (x + 2)(x + 2) - 1
y = x2 + 2x + 2x + 4 - 1
y = x2 + 4x + 3
Zo kun je altijd checken of je geen foutjes hebt gemaakt bij het kwadraatafsplitsen.
Vuistregels
- De top van de formule (x - p)2 + q heeft de coördinaten (p,q).
- $$ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left (\frac{b}{2}\right )^2 + c$$
Voorbeeldvraag
Herschrijf de volgende formule zodat je de top van de parabool direct kunt aflezen uit de formule.
a. y = x2 + 8x
b. y = x2 + 9x + 1
c. y = x2 - 7x
d. y = x2 - 6x - 2
Uitwerking:
a. y = x2 + 8x
$$y = a\left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left (\frac{b}{2}\right )^2 + c$$
y = (x + 4)2 - 16.
De top van de parabool met de formule (x - p)2 + q heeft de coördinaten (p,q).
In deze formule staan de minnen en plussen net even anders. Pas dus op!
y = (x + 4)2 - 16 = (x - -4)2 + -16
De top ligt dus op (-4,-16)
b. y = x2 + 9x + 1
y = (x + 4,5)2 - 4,52 + 1 = (x + 4,5)2 - 19,25.
De top van de parabool met de formule (x - p)2 + q heeft de coördinaten (p,q).
In deze formule staan de minnen en plussen net even anders. Pas dus op!
y = (x + 4,5)2 - 19,25 = (x - -4,5)2 + -19,25
De top ligt dus op (-4,5;-19,25)
c. y = x2 - 7x
y = (x - 3,5)2 - 12,25.
De top van de parabool met de formule (x - p)2 + q heeft de coördinaten (p,q).
In deze formule staan de minnen en plussen net even anders. Pas dus op!
y = (x - 3,5)2 - 12,25 =(x - 3,5)2 + -12,25
De top ligt dus op (3,5;-12,25)
d. y = x2 - 6x - 2
y = (x - 3)2 - 9 - 2 = (x - 3)2 - 11.
De top van de parabool met de formule (x - p)2 + q heeft de coördinaten (p,q).
In deze formule staan de minnen en plussen net even anders. Pas dus op!
y = (x - 3)2 - 11 = (x - 3)2 + -11
De top is dus (3,-11)
