Het meest gebruiksvriendelijke oefenprogramma vól slimmigheden
Gevorderd - de discriminant en het aantal snijpunten van de x-as met de parabool
Met Slimleren oefenen leerlingen thuis of in de les, op een leuke en interactieve manier, de stof die jij voor ze klaar zet. Benieuwd naar onze stof? Hieronder zie je hoe het onderwerp Gevorderd - de discriminant en het aantal snijpunten van de x-as met de parabool eruit ziet. Leerlingen kunnen in Slimleren vragen over dit - en ieder ander - onderwerp maken. Docenten kunnen de resultaten daarvan inzien en daarmee hun lessen efficiënter inrichten en makkelijker differentiëren.
Gevorderd - de discriminant en het aantal snijpunten van de x-as met de parabool
Theorie
.png)
Uitdaging
De grafiek van een kwadratische functie is een parabool. Als een parabool de x-as snijdt, kun je de snijpunten met de x-as berekenen. Hiervoor moet je de vergelijk ax2 + bx + c = 0 oplossen.
Soms ziet een kwadratische functie er zo uit: f(x) = x2 + 2x + p. Voor de p in de functie kun je elk getal invullen. Hierdoor is deze functie niet slechts 1 functie, maar eigenlijk oneindig veel functies. De p heet een parameter.
Methode
De vergelijking ax2 + bx + c = 0 kun je oplossen met behulp van de abc-formule. Er kunnen geen, 1 of 2 oplossingen zijn voor de vergelijking. Hoeveel oplossingen er zijn hangt af van de discriminant D. De discriminant bereken je met de formule D = b2 - 4ac.
Als:
- D > 0, dan zijn er 2 oplossingen voor de vergelijking. Dit betekent dat er 2 snijpunten met de x-as zijn.
- D = 0, dan is er 1 oplossing voor de vergelijking. Dit betekent dat er 1 punt is waarbij de parabool de x-as raakt.
- D < 0, dan zijn er geen oplossingen voor de vergelijking. Dit betekent dat de parabool de x-as nooit snijdt.
De discriminant geeft dus aan waar de parabool ligt ten opzichte van de x-as. Daarnaast kun je ook aan de functie zien of de parabool een berg- of een dalparabool is.
Als in f(x) = ax2 + bx + c het getal voor a positief is, dus a > 0, dan is de parabool een dalparabool.
Als a negatief is, dus a < 0, dan is de parabool een bergparabool.
In de kwadratische functie f(x) = x2 + 2x + p kan je verschillende waardes voor p invullen:
Vul je in p = 4, dan krijg je f(x) = x2 + 2x + 4.
Maar vul je in p = 2, dan krijg je f(x) = x2 + 2x + 2.
Vuistregels
- D > 0, dan zijn er 2 oplossingen voor de vergelijking. Dit betekent dat er 2 snijpunten met de x-as zijn.
- D = 0, dan is er 1 oplossing voor de vergelijking. Dit betekent dat er 1 punt is waarbij de parabool de x-as raakt.
- D < 0, dan zijn er geen oplossingen voor de vergelijking. Dit betekent dat de parabool de x-as nooit snijdt.
Voorbeeldvraag
a. Hoeveel snijpunten met de x-as heeft de parabool y = 3x2 + 2x + 3?
b. Voor welke p heeft de parabool y = 2x2 + 4x + p 1 raakpunt met de x-as?
Uitwerking
a. Bepaal eerst a, b, en c.
a = 3
b = 2
c = 3
D = b2 - 4ac = 22 - 4 · 3 · 3 = 4 - 36 = -32
D < 0, dus geen snijpunten met de x-as.
b. De parabool heeft 1 raakpunt met de x-as als de discriminant 0 is.
a = 2
b = 4
c = p
D = 42 - 4 · 2 · p = 16 - 8p
Er is 1 raakpunt als D = 0.
16 - 8p = 0
16 = 8p
p = 2
