Het meest gebruiksvriendelijke oefenprogramma vól slimmigheden
De top van een parabool met parameter p
Met Slimleren oefenen leerlingen thuis of in de les, op een leuke en interactieve manier, de stof die jij voor ze klaar zet. Benieuwd naar onze stof? Hieronder zie je hoe het onderwerp De top van een parabool met parameter p eruit ziet. Leerlingen kunnen in Slimleren vragen over dit - en ieder ander - onderwerp maken. Docenten kunnen de resultaten daarvan inzien en daarmee hun lessen efficiënter inrichten en makkelijker differentiëren.
De top van een parabool met parameter p
Theorie
Uitdaging
We kennen twee notaties voor een functie:
- De haakjesnotatie: f(x) = x2 - 3.
- De formule: y = x2 - 3.
De functie f(x) = x2 - 3 wordt een kwadratische functie genoemd. Als je de functie wil berekenen voor bijvoorbeeld x = 3, dan wordt het dus: f(3) =32 - 3.
Soms staan er in een functie meerdere onbekenden, bijvoorbeeld x en p. Je kan dan de xtop en de ytop uitdrukken in p.
Methode
P berekenen
Stel je hebt de functie: f(x) = -x2 + 8px + 5p.
De standaardformule voor de xtop is:
- $$x_ {top}= -\frac{b}{2a}$$
Je krijgt dan: $$x_{top} = -\frac{8p}{2 · -1} = -\frac{8p}{-2} = 4p $$
xtop = 4p
De ytop kunnen we bepalen:
- Bereken de ytop door xtop in te vullen in de functie.
f(4p) = -(4p)2 + 8p · 4p + 5p = -16p2 + 32p2 + 5p = 16p2 + 5p
De ytop = 16p2 + 5p
Vuistregels
- Je kan de xtop en de ytop uitdrukken in p.
- $$x_ {top}= -\frac{b}{2a}$$
- Bereken de ytop door xtop in te vullen in de functie.
Voorbeeldvraag
Leila leest in haar wiskundeboek een vraag met de functie: f (x) = -x2 + 4px + 2p.
Ze wilt weten voor welke p de ytop gelijk is aan 12.
Uitwerking
Je wil de ytop bepalen. Daarvoor moet je eerst de xtop bepalen en die vervolgens invullen als x in de functie.
Stap 1. Bepaal de toppen. f (x) = -x2 + 4px + 2p
$$x_{top} = -\frac{4p}{2 · -1} = -\frac{4p}{-2} = 2p$$
ytop = -(2p)2 + 4p · 2p + 2p = -4p2 + 8p2 + 2p = 4p2 + 2p
Stap 2. Leila wil weten wanneer de ytop gelijk is aan 12. Je moet dus de ytop gelijkstellen aan 12.
4p2 + 2p = 12
3. Om de vergelijking op te lossen, moet je deze gelijkstellen aan 0.
4p2 + 2p - 12 = 0
4. Deze vergelijking kan je nu oplossen met behulp van de ABC-formule.
4p2 + 2p - 12 = 0
D = b2 - 4 · a · c
D = 22 - 4 · 4 · -12 = 4 - -192 = 196
$$p=\frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{196}}{2 · 4} = \frac{-2 - 14}{8} = \frac{-16}{8} = -2$$
of $$p=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{196}}{2 · 4} = \frac{-2 + 14}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1,5 $$
Bij p = -2 of p = 1,5 als de ytop gelijk is aan 12.
