Het meest gebruiksvriendelijke oefenprogramma vól slimmigheden
Basis - drie oplosmethoden voor kwadratische vergelijkingen
Met Slimleren oefenen leerlingen thuis of in de les, op een leuke en interactieve manier, de stof die jij voor ze klaar zet. Benieuwd naar onze stof? Hieronder zie je hoe het onderwerp Basis - drie oplosmethoden voor kwadratische vergelijkingen eruit ziet. Leerlingen kunnen in Slimleren vragen over dit - en ieder ander - onderwerp maken. Docenten kunnen de resultaten daarvan inzien en daarmee hun lessen efficiënter inrichten en makkelijker differentiëren.
Basis - drie oplosmethoden voor kwadratische vergelijkingen
Video
Theorie
Uitdaging
Om een kwadratische vergelijking op te lossen, moet je de vergelijking vaak herleiden naar een meer eenvoudige (standaard) vorm. Er zijn twee veelgebruikte methodes die je kunt gebruiken om kwadratische vergelijkingen op te lossen.
Deze methodes behandelen we nog een keer in deze theorie.
Methode
De volgende drie methodes worden gebruikt bij het oplossen van kwadratische vergelijkingen:
Methode 1: x2 = c
Elke kwadratische vergelijking kun je oplossen met behulp van de abc-formule, maar toch is het niet altijd de meest handige methode. Je kan bijvoorbeeld de vergelijking x2 = 36 direct opschrijven:
x2 = 36 geeft $$x=\sqrt{36}$$. Dus x = 6 ∨ x = -6. Want (-6)2 is ook 36.
Met de abc-formule kom je op dezelfde antwoorden uit, maar deze manier gaat veel sneller. Kijk dus altijd of je de vergelijking niet kunt omschrijven naar de vorm van x2 = c.
Methode 2: Ontbinden in factoren
De vergelijking x2 + x - 2 = 0 los je op door te ontbinden in factoren. Je kunt hiervoor de product-som methode gebruiken.
x2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) = 0
x = -2 ∨ x = 1
Om een vergelijking te ontbinden in factoren moet je deze soms eerst vereenvoudigen.
Bijvoorbeeld: 30x2 + 60x = 90. Breng eerst 90 naar het linkerlid en deel vervolgens alle termen door 30. Je krijgt dan: x2 + 2x - 3 = 0, oftewel (x + 3)(x - 1) = 0, dus x = -3 ∨ x = 1
Bij (3x + 2)(x - 1) = 0 is het ontbinden in factoren niet meer nodig en kun je meteen de laatste stap toepassen: A · B = 0. Dus: A = 0 ∨ B = 0.
Je krijgt dan 3x + 2 = 0 ∨ x - 1 = 0
x = -0,6666... ∨ x = 1
Methode 3: De abc-formule
De vergelijking x2 + 10x - 8 = 0 heeft niet de vorm x2 = c en deze vergelijking kun je ook niet ontbinden in factoren. Je gebruikt dan de abc-formule.
Bij de vergelijking $$1\frac{1}{2}x^2 + 7\frac{1}{2}x-6 =0$$ vereenvoudig je de vergelijking eerst door alle termen te vermenigvuldigen met 2. Vervolgens kun je nagaan of ontbinden in factoren mogelijk is. Als dit niet het geval is dan gebruik je de abc-formule.
$$x = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \vee x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$ met $$D = b^{2} - 4ac$$
Vuistregels
- Kijk of de vergelijking te herleiden is tot de vorm x2 = c
- Als dit niet het geval is, kijk dan of je de vergelijking kan oplossen met ontbinden in factoren (check of je de product-som methode kunt toepassen)
- Als dit ook niet kan, gebruik dan de abc-formule
Voorbeeldvraag
Gegeven is de vergelijking: 6x2 + 14x + 8 = 0
Welke oplosmethode gebruik je?
Uitwerking
Ga alle methodes stapsgewijs af:
1. x2 = c kan je hier niet gebruiken, want de vergelijking bestaat uit meer termen.
2. Ontbinden in factoren. Vereenvoudig eerst de vergelijking zodat je in plaats van 6x2 de term x2 krijgt. Deel de gehele vergelijking door 6. Zoals je ziet komen hier geen 'mooie ronde' getallen uit, dus ontbinden in factoren lukt niet.
3. De methode die overblijft is de abc-formule. Dus deze methode gebruik je bij deze vergelijking.
6x2 + 14x + 8 = 0
a = 6
b = 14
c = 8
$$D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 · 6 · 8 = 196 - 192 = 4$$
$$ x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 + \sqrt{4}}{2 · 6} = -1$$ $$ x = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 - \sqrt{4}}{2 · 6} = -1\frac{1}{3}$$
