Het meest gebruiksvriendelijke oefenprogramma vól slimmigheden
Gevorderd 1 - oplossen van lineaire vergelijkingen met de balansmethode
Met Slimleren oefenen leerlingen thuis of in de les, op een leuke en interactieve manier, de stof die jij voor ze klaar zet. Benieuwd naar onze stof? Hieronder zie je hoe het onderwerp Gevorderd 1 - oplossen van lineaire vergelijkingen met de balansmethode eruit ziet. Leerlingen kunnen in Slimleren vragen over dit - en ieder ander - onderwerp maken. Docenten kunnen de resultaten daarvan inzien en daarmee hun lessen efficiënter inrichten en makkelijker differentiëren.
Gevorderd 1 - oplossen van lineaire vergelijkingen met de balansmethode
Video
Theorie
Uitdaging
Door middel van een '=' teken kunnen twee lineaire formules aan elkaar gelijk worden gesteld. Dit noem je dan een lineaire vergelijking.
In deze theorie leren we je hoe je lineaire vergelijkingen kunt oplossen met de balansmethode aan de hand van een stappenplan.
Methode
In een lineaire vergelijking heb je te maken met een linker- en een rechterkant van de vergelijking Dit noemen we ook wel het linker- en het rechterlid. Jouw doel is om de vergelijking zo aan te passen dat hij de vorm krijgt van x = a, waarbij a een getal is. Om dit te doen, kun je gebruik maken van de regel dat alles wat je aan de linkerkant doet, je ook aan de rechterkant moet doen. Als je aan de linkerkant iets optelt of aftrekt, moet je dat rechts ook doen. En als je de linkerkant door iets deelt of met iets vermenigvuldigt, dan moet je dat ook aan de rechterkant doen. Zo blijft de vergelijking in evenwicht. Dit noemen we dan ook de balansmethode.
Stappenplan
We nemen als voorbeeld: 3x - 2 = x + 7.
- Stap 1: Alle termen met een x erin (dit kan ook een andere letter zijn) naar het linkerlid halen.
Omdat aan de rechterkant één x staat, kun je alle x-en naar de linkerkant halen door aan de linkerkant en aan de rechterkant één x eraf te trekken. Dan verdwijnt de x aan de rechterkant namelijk.
Dus: 3x - x - 2 = x - x + 7.
Dit kun je vereenvoudigen tot 2x - 2 = 7.
- Stap 2: Alle termen zonder x erin (dus de losse getallen) naar het rechterlid halen.
Dit kun je dus doen door aan beide kanten 2 erbij op te tellen. Dan houdt je links namelijk alleen nog maar 2x over en rechts alleen een getal, en dat is wat je wilt.
We halen 2 naar de rechterkant, door deze links én rechts erbij op te tellen:
Dus: 2x - 2 + 2 = 7 + 2.
Dit kun je vereenvoudigen tot 2x = 9.
- Stap 3: Bepaal x.
Om x te vinden deel je de linkerkant en de rechterkant door 2. Als je 2x door 2 deelt houd je namelijk alleen x over. En daarmee heb je de vorm x = a bereikt.
Dus: $$x=\frac{9}{2}$$ dus x = 4,5
- Stap 4: Controle
Om te controleren of je ergens een rekenfout gemaakt hebt, kun je de gevonden waarde van x in de vergelijking invullen.
3x - 2 = x + 7 met x = 4,5 geeft:
3 · 4,5 - 2 = 4,5 + 7 = 11,5. Het klopt dus inderdaad!
Je ziet dus dat wanneer je een vergelijking oplost, je bij elke stap aan beide kanten hetzelfde doet. Als je bijvoorbeeld optelt doe je dit links én rechts. Zo blijft de vergelijking in balans.
Eerst haakjes wegwerken!
Als er in de oorspronkelijke vergelijking ook nog haakjes staan, dan moet je deze als eerste stap wegwerken. Neem bijvoorbeeld: 3(x - 2) = 5x + 8.
- Stap 1: Werk de haakjes weg.
3(x - 2) = 5x + 8 wordt 3x - 6 = 5x + 8
- Stap 2: Alle termen met een x erin (dit kan ook een andere letter zijn) naar het linkerlid halen.
Je trekt hier aan beide zijden 5x af: 3x - 5x - 6 = 5x - 5x + 8. Dit kun je vereenvoudigen tot -2x - 6 = 8. Je hebt nu de x naar één kant (de linkerkant) gehaald.
- Stap 3: Alle termen zonder x erin (dus de losse getallen) naar het rechterlid halen.
Hiervoor tel je bij beiden kanten 6 erbij op: -2x - 6 + 6 = 8 + 6. Dit kun je vereenvoudigen tot -2x = 14.
- Stap 4: Bepaal x.
Je lost dit vervolgens verder op tot $$x=\frac{14}{-2}=-7$$.
- Stap 5: Controle
Om te controleren of je ergens een rekenfout gemaakt hebt, kun je de gevonden waarde van x in de vergelijking invullen.
3(x - 2) = 5x + 8 met x = -7 geeft:
3(-7 - 2) = 5 · -7 + 8 = -27. Het klopt dus inderdaad!
Vuistregels
Stappenplan voor het oplossen van een lineaire vergelijking:
- Haakjes wegwerken
- Termen met een x erin allemaal in het linkerlid krijgen
- Alle andere termen in het rechterlid krijgen
- Bepalen wat x is
- Controleren
Voorbeeldvraag
Los de volgende lineaire vergelijkingen op:
a. -3x + 2 = 5x - 3
b. 3(x + 6) = 2x(4 + 12)
Uitwerking
a. -3x + 2 = 5x - 3
- Stap 1: Haakjes wegwerken
Die zijn er niet.
- Stap 2: Termen met een x erin allemaal in het linkerlid krijgen
Aan beide kanten 5x eraf trekken.
-3x - 5x + 2 = 5x - 5x - 3
-8x + 2 = -3
- Stap 3: Alle andere termen in het rechterlid krijgen
Aan beide kanten 2 eraf trekken.
-8x + 2 - 2 = -3 - 2
-8x = -5
- Stap 4: Bepalen wat x is
Deel beide kanten door -8 om alleen x aan de linkerkant over te houden.
$$x=\frac{-5}{-8}=0,625$$
- Stap 5: Controle
-3x + 2 = 5x - 3
-3 · 0,625 + 2 = 5 · 0,625 - 3 = 0,125. Het klopt dus inderdaad!
- Stap 1: Haakjes wegwerken
3(x + 6) = 2x(4 + 12)
3x + 18 = 8x + 24x
- Stap 2: Termen met een x erin allemaal in het linkerlid krijgen
3x - 8x - 24x + 18 = 0
-29x + 18 = 0
- Stap 3: Alle andere termen in het rechterlid krijgen
-29x = -18
- Stap 4: Bepalen wat x is
$$x=\frac{-18}{-29} \approx 0,62$$
- Stap 5: Controle
3(x + 6) = 2x(4 + 12)
3(0,62 + 6) = 2 · 0,62(4 + 12) = 19.85... Het klopt dus inderdaad!
